一道圆的方程题目

题目

一道圆的方程题目
求经过两圆（x+3）^2+y^2=13和x^2+(y+3)^2=37的交点
（1）且过点(o,o)的圆的方程
（2）且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程

答案

两圆方程相减 ,得到相交直线的方程：6x + 9 - (6y + 9) = -24 ,∴两圆的相交线为：y = x + 4 ,相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 ,而易求得连心线的方程为：y = -(x + 3) ,显然y = -(x + 3) 上任一点到两圆交点的距离相等 ,因此第一问中所求圆的圆心在该直线上 ,可设圆心为P(t ,-t - 3) ,由相交线的方程和连心线的方程得到公共弦的中点为：Q(-7/2 ,-1/2) ,由勾股定理求得弦长的一半的平方 = 25/2 ,再由勾股定理求得P到公共弦端点的距离的平方 = (t + 7/2)^2 + (t + 5/2)^2 + 25/2 ,该平方值等于所求圆心P到原点O的距离的平方值 t^2 + (t + 3)^2 ,联立求得：t = -11/3 ,∴所求圆心P的坐标为：（-11/3 ,2/3）,∴第一问中 ,所求圆的方程为：(x + 11/3)^2 + (y - 2/3)^2 = 125/9 .
2).
利用第一问 ,连心线为：y = -(x + 3) ,它与 x - y - 4 = 0 联立得到圆心为：K(1/2 ,-7/2) ,两圆公共弦中点为：Q(-7/2 ,-1/2) ,公共弦长的一半的平方 = 25/2 ,由勾股定理得到圆的半径的平方 = 75/2 ,∴第二问中 ,所求圆的方程为：(x - 1/2)^2 + (y + 7/2)^2 = 75/2 .