N阶对称矩阵问题 A B是两个N阶对称矩阵 证明 AB+BA是对称矩阵 AB-BA是反对称矩阵

题目

N阶对称矩阵问题 A B是两个N阶对称矩阵 证明 AB+BA是对称矩阵 AB-BA是反对称矩阵
A B是两个N阶对称矩阵 证明 AB+BA是对称矩阵
AB-BA是反对称矩阵

答案

A B是两个N阶对称矩阵A^T=A,B^T=B
(AB+BA)^T=(AB)^T+(BA)^T=B^TA^T+A^TB^T=AB+BA
故AB+BA是对称矩阵
同样
(AB－BA)^T=(AB)^T-(BA)^T=B^TA^T-A^TB^T=BA-AB
故AB-BA是反对称矩阵