设有线性方程组(x1+a1x1+(a1)^2x3=(a1)^3,x1+a2x2+(a2)^2x3=(a2)^3,x1+a3x2+(a3)^2x3=(a3)^3,

题目

设有线性方程组(x1+a1x1+(a1)^2x3=(a1)^3,x1+a2x2+(a2)^2x3=(a2)^3,x1+a3x2+(a3)^2x3=(a3)^3,
x1+a4x2+(a4)^2x3=(a4)^3)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),且已知β1=(-1,1,1)T,β2=(1,1,-1)T为该方程组的两个解,写出该方程组的通解

答案

增广矩阵(A,b) =
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
r3-r2,r2-r1,r4-r1
1 k k^2 k^3
0 -2k 0 -2k^3
0 0 0 0
0 0 0 0
因为k≠0,所以 r(A)=r(A,b)=2.
所以Ax=0的基础解系含 3-r(A)=1 个解向量.
所以非零解向量β1-β2是Ax=0的一个基础解系
所以方程组的通解为:
β1+c(β1-β2)=(-1,1,1)^T+c(-2,0,2)^T.