已知关于X的方程X的平方+（2-K）X+K-2=0,两实数根为X1,X2是否存在常数K,使X1/X2+X2/X1=3/2成立?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.

题目

已知关于X的方程X的平方+（2-K）X+K-2=0,两实数根为X1,X2是否存在常数K,使X1/X2+X2/X1=3/2成立?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.

答案

x1/x2+x2/x1=(x1^2+x2^2)/x1x2=[(x1+x2)^2-2x1x2]/x1x2
韦达定理的x1+x2=k-2,x1x2=k-2
带进去x1/x2+x2/x1=(x1^2+x2^2)/x1x2=[(x1+x2)^2-2x1x2]/x1x2
=(k-2)(k-2-2)/(k-2)=k=3/2
带入判别式=4-4k+k^2-4k+8=k^2+12>0
所以k=3/2为所求