求实数a的值,使得函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图像为中心对称图形.

题目

求实数a的值,使得函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图像为中心对称图形.

答案

为叙述方便,用max{a1,a2,…,an}、min{a1,a2,…,an}
分别表示a1,a2,…,an中的最大数和最小数.
当x≤min{a-1,3}时,有f(x)=(x+a)(-2x+a+2)-2x+4a=-2x2-ax+a2+6a.
当x≥max{a-1,3}时,有f(x)=(x+a)(2x-a-2)-2x+4a=2x2+(a-4)x-a2+2a.
当min{a-1,3}可见,函数f(x)的图像在左、右两边为两段抛物线弧,而在中间这一段上为一条线段.当且仅当它的对称中心为中间这一线段的中点M,且左、右两端抛物线弧的顶点A、B也关于点M对称时,函数f(x)的图像为中心对称图形.
因为xM= = ,xA=-a/4,xB=- ,
所以, =xM,即- = .
解得a=-2/3.
经检验,a=-2/3满足要求.