关于反函数二阶导数的问题

题目

关于反函数二阶导数的问题
我的教科书上是这么解释的：由于dx/dy=1/y‘,注意到y'即y'(x)表示y对x的导数,它是关于x的函数.因此在求(dx)^2/d(y^2)时应把x看作中间变量,由复合函数求导法则,可得：
(dx)^2/d(y^2)
=d(1/y')/dy
=d(1/y')/dx×(dx/dy)
=-y''/(y'^2)×(1/y)
=-y''/(y'^3)
谁能帮我解释一下为什么是这样,为什么是d(1/y')/dy ,我很不理解,还有那个dY的Y到底是哪个Y

答案

这样解释你或者明白：令y=y(x), 其反函数为x=x(y), 则dx/dy=1/y'(x)=1/y'[x(y)], 这是以x为中间变量y为自变量的复合函数. 因此,
d²x/dy²=d(1/y'[x(y)])/dy=d(1/y'(x))/dx × dx/dy=-y''(x)/[y'(x)]² × 1/y'(x)=-y''(x)/[y'(x)]³