如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°. (1)求证:AD=BD; (2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE; (3)当BD=2时,AC的长为_.

如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°. (1)求证:AD=BD; (2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE; (3)当BD=2时,AC的长为_.

题目
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.

(1)求证:AD=BD;
(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;
(3)当BD=2时,AC的长为______.(直接填出结果,不要求写过程)
答案
(1)证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=30°.
∴AD=BD.
(2)证明:在DE上截取DM=DC,连接CM,
∵AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴△ACD≌△BCD.
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵∠CAD=15°,
∴∠EDC=60°.
∵DM=DC,
∴△CMD是等边三角形.
∴∠CDA=∠CME=120°.
∵CE=CA,
∴∠E=∠CAD.
∴△CAD≌△CEM.
∴ME=AD.
∴DA+DC=ME+MD=DE.
即AD+CD=DE.

(3)延长CD交AB于点H,则CH⊥AB,
∵∠HBD=30°,BD=2,
∴BH=BD•cos30°=
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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