求椭球面x^2+2y^2+x^2上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程

题目

求椭球面x^2+2y^2+x^2上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程

答案

椭球面 f（x,y,z）=x^2+2y^2+z^2；
əf/əx=2x；əf/əy=4y；əf/əz=2z；
即椭球面f（x,y,z）的切平面法向量为（2x,4y,2z)
平面x-y+2z=0的法向量是（1,-1,2）；
则,
2x/1=4y/（-1）=2z/2；
→{
z=2x；
y=（-1/2）x；
代入椭球面方程得：
x=±√（2/11）；
y=-±1/√22；
z=±2√（2/11）；
即切点坐标为
（√（2/11）,-1/√22,2√（2/11） ）和（-√（2/11）,1/√22,-2√（2/11） ）
则切平面方程为
[x-√（2/11）]-（y+1/√22）+2[z-2√（2/11）]=0
和
[x+√（2/11）]-（y-1/√22）+2[z+2√（2/11）]=0
即
x-y+2z=±√22/2