证明(ln2)/2^4+(ln3)/3^4+...+(lnn)/n^4
题目
证明(ln2)/2^4+(ln3)/3^4+...+(lnn)/n^4<1/(2e)
答案
设f(x) = 2elnx -x^2; f'(x) = 2e/x -2x; 当x =√e时,f'(x) =0 ,即f(√e) =0取得最大值, 因此2elnx或者: lnx/x^2<1/(2e);
因此ln(n)/n^2<1/(2e);
下面证本题的命题:
ln(n)/n^4 = ln(n)/n^2*1/n^2= ln(n)/n^2(1/(n-1)-1/n)<1/(2e)(1/(n-1)-1/n)
因此:ln2/(2^4) + ln3/(3^4) +...+lnn/(n^4)<1/(2e)(1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n) = 1/(2e)(1-1/n)<1/(2e)
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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