已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). (Ⅰ)设bn=an+1,求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
题目
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(Ⅰ)设bn=an+1,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
答案
(Ⅰ)由S
n+1=2S
n+n+5(n∈N
*)
得 S
n=2S
n-1+(n-1)+5(n∈N
*,n≥2)
两式相减得 a
n+1=2a
n+1,
∴a
n+1+1=2(a
n+1)
即 b
n+1=2b
n(n∈N
*,n≥2),
又a
2=S
2-S
1=S
1+1+5=a
1+6=11
∴b
2=a
2+1=12,b
1=a
1+1=6
∴b
2=2b
1.
∴数列{b
n}是首项为6,公比为2的等比数列
∴
bn=6•2n−1=3•2n.
(Ⅱ)法一
由(Ⅰ)知
an=3•2n−1,
∴S
n=a
1+a
2+…+a
n=3×2+3×2
2+…+3•2
n-n=
3×−n=6•2
n-n-6=3•2
n+1-n-6.
(Ⅱ)法二
由已知S
n+1=2S
n+n+5(n∈N
*)①
设S
n+1+c(n+1)+d=2(S
n+cn+d)
整理得 S
n+1=2S
n+cn+d-c②
对照①、②,得 c=1,d=6,
即①等价于 S
n+1+(n+1)+6=2(S
n+n+6)
∴数列{S
n+n+6}是等比数列,首项为S
1+1+6=a
1+1+6=12,公比为q=2
∴
Sn+n+6=12•2n−1=3•2n+1∴
Sn=3•2n+1−n−6.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 为什么会发生海啸?
- 英语,汉语译成英语
- 一个两位数,十位数字是6,如果把十位数字与个位数字对调,那么所得的两位数与原来两位数比是7/4,求原来的两位数
- 椭圆的两焦点坐标分别为F1(-根号3,0)和F2(根号3,0),且椭圆过点(1,-根号3/2)
- 人生自古谁无死,留取丹心照汗青.这是爱国英雄谁写的过零丁洋中的诗句
- 人类所观测到的总星系 半径超过了100亿光年.我就想知道 他们咋知道距离100亿光年的
- 三只灰喜鹊一年能吃掉约三点六万条松毛虫,可保护19,8公顷森林,照这样计算,12只灰喜鹊一年可保护多少公顷森林?一定给点赞
- 4分之3加上2分之1的7分之4和是多少?
- 1.苍蝇不叮无缝的蛋 比喻() 2.得志的猫儿欢似虎 比喻()3.好马不吃回头草 比喻 ()
- 观察玻片标本时,若视野的左边较暗,右边较亮.应调节以下那一部分才能看到白亮的视野?( ) A.物镜 B.细准焦螺旋 C.光圈 D.反光镜
热门考点