已知点P是椭圆x^2/4+y^2/3=1上任意一点,则点P到直线l:x+2y-12=0的距离的最小值

题目

已知点P是椭圆x^2/4+y^2/3=1上任意一点,则点P到直线l:x+2y-12=0的距离的最小值

答案

由图像分析,设与x+2y-12=0平行的一条直线为x+2y-m=0,它与椭圆x^2/4+y^2/3=1相切.则切点即为点P.
由x+2y-m=0,得x=m-2y.代入椭圆x^2/4+y^2/3=1.因为相切,所以整理后的二次方程有两个相等的实数解.根的判别式=0.
解得m=4.（m为-4时距离最大）
代入得P坐标（1,3/2）
所以最小值为8根号5/5