设a,b,c∈R ,a+b+c=0 ,abc＜0

题目

设a,b,c∈R ,a+b+c=0 ,abc＜0
求证 1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ＞0

答案

abc＜0
因为a+b+c=0,所以不可能三个都小于0
所以只能有一个小于0
不妨设c0,b>0
c=-(a+b)
所以1/a+1/b+1/c=(a+b)/ab-1/(a+b)
=[(a+b)²-ab]/ab(a+b)
=(a²+ab+b²)/ab(a+b)
a²+ab+b²=a²+ab+b²/4+3b²/4=(a+b/2)²+3b²/4
因为a>0,b>0,所以(a+b/2)²+3b²/4>0
且ab>0,a+b>0
所以(a²+ab+b²)/ab(a+b)>0
所以1/a+1/b+1/c>0