已知k为非负实数,当k为何值时,关于x的方程x^2-(k+1)x+k=0与方程kx^2-(k+2)x +k=0有一个相同的实数根?

题目

已知k为非负实数,当k为何值时,关于x的方程x^2-(k+1)x+k=0与方程kx^2-(k+2)x +k=0有一个相同的实数根?

答案

解前一个方程x²-(k+1)x+k=0.===>(x-1)(x-k)=0.===>x1=1,x2=k.由题设可知,1和k必有一个是后一个方程的根.（1）当x=1是方程kx²-(k+2)x+k=0的根时,有k-(k+2)+k=0.===>k=2.而当k=2时,两方程为x²-3x+2=0,2x²-4x+2=0.易知,此时二者恰有一个相同的根x=1.故k=2符合题设.（2）当x=k是后一个方程的根时,有k³-k(k+2)+k=0.==>k(k²-k-1)=0.===>k[k-(1/2)+(√5/2)][k-(1/2)-(√5/2)]=0.===>k=0,或k=(-1+√5)/2,或k=-(1+√5)/2(因k≥0,故舍去）.综上可知,k=0,或k=2,或k=(-1+√5)/2.