泰勒公式有什么实际性的应用?

题目

泰勒公式有什么实际性的应用?
这样展开有什么意义?

答案

Taylor展开在物理学中太有用了.简谐振动对应的势能具有x^2的形式,并且能在数学上精确求解.为了处理一般的情况,物理学首先关注平衡状态,可以认为是“不动”的情况.为了达到“动”的效果,会给平衡态加上一个微扰,使物体振动.在这种情况下,势场往往是复杂的,因此振动的具体形式很难求解.这时,Taylor展开就开始发挥威力了.理论力学中的小振动理论告诉我们,在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式,零次项可取为0,一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0,从二次项开始不为零.如果精确到二级近似,则势能的形式与简谐运动完全相同,因此很容易求解.这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用.反思一下这么处理的原因:首先,x^2形式的势能对应于简谐运动,能精确求解;其次,Taylor级数有较好的近似,x^2之后的项在一定条件下可以忽略.这保证了解的精确性.除了Taylor级数,经常用到的还有Fourier级数和Legendre多项式.原因也和上面提到的类似.
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