已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD.

已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD.

题目
已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD.
答案
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠BAD=90°,AB=CD,
∴∠BEF+∠BFE=90°.
∵EF⊥ED,
∴∠BEF+∠CED=90°.
∴∠BFE=∠CED.
∴∠BEF=∠EDC.
在△EBF与△DCE中,
∠BFE=∠CED
EF=ED
∠BEF=∠EDC

∴△EBF≌△DCE(ASA).
∴BE=CD.
∴BE=AB.
∴∠BAE=∠BEA=45°.
∴∠EAD=45°.
∴∠BAE=∠EAD.
∴AE平分∠BAD.
要证AE平分∠BAD,可转化为△ABE为等腰直角三角形,得AB=BE,又AB=CD,再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边,根据全等三角形的判定,和矩形的性质,可确定ASA.即求证.

矩形的性质;全等三角形的判定与性质.

三角形全等的判定是中考的热点.求证的结果可一步步转化为全等三角形的对应边、对应角相等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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