已知矩阵A可对角化,证明A的伴随矩阵也可对角化

题目

已知矩阵A可对角化,证明A的伴随矩阵也可对角化
A可逆,如题

答案

证明：
矩阵A可对角化,
则存在可逆阵P,使P^(-1)AP=N为对角阵,
P*[P^(-1)AP]*P^(-1)=PNP^(-1)
A=PNP^(-1),
A可逆,
则
A^(-1)=[PNP^(-1)]^(-1)
=PN^(-1)P^(-1)
A*为A的伴随矩阵,
则A*(A*)=|A|E,
A*=A^(-1)|A|E=|A|A^(-1)
=|A|PN^(-1)P^(-1)
=P*[|A|*N^(-1)]P^(-1)
则
P^(-1)*(A*)*P=|A|N^(-1)
因为N为对角阵,则N^(-1)为对角阵,
从而|A|*N^(-1)为对角阵,
所以根据定义可知,
A的伴随矩阵A*也可对角化.