已知△ABC中,AD是BC边上中线以D为顶点,作∠EDF=90°且DE,DF分别交ABAC于点EF,BE²+FC²=EF²

题目

已知△ABC中,AD是BC边上中线以D为顶点,作∠EDF=90°且DE,DF分别交ABAC于点EF,BE²+FC²=EF²

答案

证明：延长ED到G,使DG=DE,连结GF,GC
因为AD是BC边上的中线
所以 BD=DC,又 角BDE=角CDG,
所以 三角形BED全等于三角形CDG
所以 BE=CG,角B=角GCD.
因为 DG=DE,且 角EDF=90度
所以 FD垂直平分EG
所以 EF=GF
因为 角BAC=90度
所以 角B+角ACB=90度
所以 角FCG=角ACB+角GCD
=角ACB+角B
=90度
三角形FGC是直角三角形
在直角三角形FGC中 由勾股定理可得：
CG^2+FC^2=GF^2
因为 CG=BE,GF=EF
所以 BE^2+FC^2=EF^2.
请注意：你的题目中少了一个条件“角BAC=90度”,我在证题时加进去了,否则就证明不了.