空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=3,求异面直线AD、BC所成角的大小.

空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=3,求异面直线AD、BC所成角的大小.

题目

空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=
3
,求异面直线AD、BC所成角的大小.
答案
设G为AC的中点,∵E、F分别是AB、CD中点
∴EG∥BC且EG=
1
2
BC=1

FG∥AD且FG=
1
2
AD=1

∴∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)
EF=
3

∴△EGF中,cos∠EGF=−
1
2

∴∠EGF=120°,
即异面直线AD、BC所成的角为60°
设G为AC的中点,由已知中AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,若EF=
3
,根据三角形中位线定理,我们易求出∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角),解三角形EGF即可得到答案.

异面直线及其所成的角.

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据已知三角形中位线定理得到∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角),是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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