已知抛物线y^2=4x,过点（0,-2）的直线交抛物线于A,B两点,O为原点.若线段AB的垂直平分线交x轴于点（n,0),求n的取值范围

题目

已知抛物线y^2=4x,过点（0,-2）的直线交抛物线于A,B两点,O为原点.若线段AB的垂直平分线交x轴于点（n,0),求n的取值范围

答案

直线方程y+2=kx,设A（x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程,相减得,y1^2-y2^2=4(x1-x2),(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=k,设AB中点M（x0,y0),y0=(y1+y2)/2=2/k,代入直线方程,得x0=2/k/k+2/k,
垂线方程y-2/k=-1/k(x-2/k/k-2/k),则n=2/k/k+2/k+2=2(1/k+1/2)^2+1.5
,直线方程代入抛物线方程,（4/k）^2-4(-8/k）>0,(1/k+2)(1/k)>0,
所以1/k比-2小或者比0大,代入n,得
n比2大