若椭圆Y2/a2+X2/b2=1的一个焦点为F(0,5√2),直线l:3x-y-2=0交椭圆于P、Q两点,PQ的中点M的纵坐标为-1/2,求椭圆的方程

题目

若椭圆Y2/a2+X2/b2=1的一个焦点为F(0,5√2),直线l:3x-y-2=0交椭圆于P、Q两点,PQ的中点M的纵坐标为-1/2,求椭圆的方程

答案

此题只需求a²,和b².不妨简单设m=a²,n=b².由题目知：c=5√2,c²=50
m-n=50------------------------------①
联立如下方程y²/n+50+x²/n=1
3x-y=2
求的的解不正是交点坐标.而所求为交点中点纵坐标,上述方程就应该消去x,把x=2+y/3带入椭圆方程中.得 （1/9n+1/50+n）y²+4/9ny+4/9n-1=0(这一步一看不好通分就千万别通分)
根据韦达定理知：y1+y2=-（4/9n）/（1/9n+1/50+n）
而中点纵坐标=（y1+y2）/2=-1/2
得-（4/9n）/（1/9n+1/50+n）=-1
乘过来就知道3n=50+n n=b²=25 a²=75 自然水到渠成