微分充分条件证明中的问题（参考同济高数第五版）

题目

微分充分条件证明中的问题（参考同济高数第五版）
在证明充分条件的时候,有一段
应用拉格郎日中值定理,得到
f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=fx(x+θΔx,y+Δy)Δx 其中(0<θ<1)
这个步骤我可以看的明白,但接下来的就不明白拉
有依靠假设,fx(x,y)在点(x,y)连续,所以上式可以写成
fx(x+θΔx,y+Δy)Δx=fx(x,y)Δx+εΔx 其中ε为Δx,Δy的函数,且当Δx→0,Δy→0时,ε→0
这个过程不知道怎样来的,希望高手可以指点,谢谢

答案

你的fx是指一阶导数的意思吧...
fx(x+θΔx,y+Δy)Δx=fx(x,y)Δx+εΔx ,约掉Δx
那么即fx(x+θΔx,y+Δy)=fx(x,y)+ε(Δx,Δy).个人认为就是个分离变量后的两个隐函数相加
如果不对表怪我...暂时帮你到这个程度,如果可以把题目页码告诉我