计算∫∫∫(x+y+z^2)dV,其中Ω即区域范围是由曲面x^2+y^2-Z^2=1和平面z=H,z=-H(H>0)所围成.

题目

计算∫∫∫(x+y+z^2)dV,其中Ω即区域范围是由曲面x^2+y^2-Z^2=1和平面z=H,z=-H(H>0)所围成.

答案

积分域是单叶双曲面与两平面所围成.记为Q.它在第一卦限的部分记为Q1
由于区域的对称性和函数的奇偶性,可知,
∫∫∫(x+y)dV=0.即以下只要计算:
∫∫∫z^2)dV.
再由对称性:
∫∫∫(x+y+z^2)dV=8倍在Q1上的积分.
用柱坐标用,化为:
∫∫∫z^2rdrdadz (a表示极角)
积分域Q1表达为:
0 0 0首先:对r积分(区间:0=z^2*(r^2)/2的上限值-下限值
=z^2[(1+z^2)-0]/2=
然后,对a 积分,区间(0, pi/2)
(z^4 对a是常量)故积分得:
=(pi/2)*(z^4+z^2)/2
最后,对z积分,区间( 0,H)
=(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值
=(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
原积分=8*(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
=2*pi*[(H^5)/5+(H^3)/3]