用“确界定理”证明“聚点原理”

题目

用“确界定理”证明“聚点原理”
其他定理证明的不用谢谢合作
确界不一定是聚点

答案

无妨考虑无限数集S有上界,则有上确界a.若上确界是最大值,考虑S{a}.否则a不在S中.利用上确界的定义容易找到严格单调递增的数列使得其收敛于a. 做法很容易：利用确界定义,取a>a1>a-1/n.然后取a>a2>a-(a-a1) 然后一直取下去就行了