在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.

题目

在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD.∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=1/2AB,E是PB的中点.
求证：（1）EC平行于平面APD
（2）求BP与平面ABCD所成角的正切值

答案

证明：(1)
取AB中点M,连接CM、EM
在△BPA中,ME是中位线,∴ME∥PA
在四边形ABCD中,
∵∠ABC=∠BCD=90°,DC=1/2AB=AM
∴四边形ADCM是平行四边形 （BC与AM平行且相等）
则MC∥AD
∴面CEM∥面APD (一对相交线平行）
则 CE∥面APD
（2）
取AD的中点N,连接PN、BN
∵PA=PD
∴PN⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD
∴PN⊥平面ABCD
则 PN⊥BN ∠PBN即为BP与面ABCD所成角.
连接DM、BD
∵DC∥MB,BC=DC=AB/2=MB,∠ABC=∠BCD=90°
∴ 四边形BCDM是正方形
设AB=2a
则 AM=MB=BC=EC=DM=PA=PB=a
AD=MC=DB=√2a
DN=AD/2=√2/2 a
PN²=PD²-DN²=a²-1/2a²=1/2a²,PN=√2/2a
∵ DM⊥AB,MD=MB=MA
∴ ∠MDA=∠MDB=45° ,即 ∠BDA=90°
BN²=BD²+DN²=2a²+1/2 a²=5/2a² BN=√10/2a
tan∠PBN=PN/BN= √2/2a / √10/2a =√5/5