求解这道题,已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求|A*+3A+2E|.

题目

求解这道题,已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求|A*+3A+2E|.
我不只是要这题的答案,我想学习解法,所以请大神们写出最详细的解题过程,如果可以请写一下注释,要是解答精彩,我会追加10到30分,谢谢了

答案

A*=|A|A逆
|A|=1*2*(-3)=-6

记φ(A) =A*+3A+2E

则φ(A)的特征值φ(λ) =|A|/λ+3λ+2=-6/λ+3λ+2

代入λ=1,2,-3得-1,5,-5

所以|A*+3A+2E|=（-1）*5*（-5）=25

 

 

方法：若λ是A的一个特征值,则φ(λ) =a0+a1λ+ … +amλ^m

是矩阵多项式φ(A) =a0E+a1A+ … +amA^m的特征值

如图：