证明：三维行向量空间R⌃3 中的向量集合V＝｛（x,y,z）｜x+y+z＝0｝是向量空间,求它的维数和一个基

题目

证明：三维行向量空间R⌃3 中的向量集合V＝｛（x,y,z）｜x+y+z＝0｝是向量空间,求它的维数和一个基

答案

由于已知R3为向量空间,而V是其子集,故对V,只须验证其元素对于向量加法和数乘向量封闭即可.
设v1=(x1,y1,z1),v2= (x2,y2,z2) 为V的任意两个向量,即:x1+y1+z1= 0,x2+y2+z2 = 0.
设k为任意实数.则有:kv1 = (kx1+ky1+kz1),而kx1+ky1+kz1=k(x1+y1+z1)=k* 0=0;
即kv1仍为V的向量;
v1+v2 = (x1+x2,y1+y2,z1+z2),而(x1+x2)+( y1+y2)+ ( z1+z2)=(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0;
即v1+v2 仍为V的向量.这就证明了集合V对于加法和数量乘向量这两种运算封闭,因而,V是一向量空间.
由于:方程组:x +y+z =0,的秩为1,故其解空间的秩为3-1=2.即V的维数为2.
其基中有两个线性无关的向量.可取为:(1,-1,0),(1,0,-1).为其基.
(取法不是唯一的.)