设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为 _ ．

题目

设实数a，b，c满足a²+b²≤c≤1，则a+b+c的最小值为 ___ ．

答案

法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．
则a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r²=r2+

2

rsin(θ+

π

4

)≥r2-

2

r=(r-

2

2

)2-

1

2

≥-

1

2

，当且仅当r=

2

2

取等号．
∴a+b+c的最小值为-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．（0≤r≤c≤1）．
法2：∵实数a，b，c满足a²+b²≤c≤1，
∴a+b+c≥a+b+a²+b²=(a+

1

2

)2+(b+

1

2

)2-

1

2

≥-

1

2

，当a=b=-

1

2

，c=

1

2

时取等号，
∴a+b+c的最小值为-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．再利用三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式即可得出．
法2：由a+b+c≥a+b+a²+b²，通过配方变形为(a+

1

2

)2+(b+

1

2

)2−

1

2

即可得出．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查了三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、配方法，属于中档题．