在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果（a^2+b^2）·sin(A-B)=(a^2-b^2)·sin(A+B),且A≠B,求证：△ABC是直角三角形.

题目

在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果（a^2+b^2）·sin(A-B)=(a^2-b^2)·sin(A+B),且A≠B,求证：△ABC是直角三角形.

答案

利用正弦定理,将原式化为
(sinA^2 +sinB^2)·sin(A-B)=(sinA^2 -sinB^2)·sin(A+B),
(sinA^2 +sinB^2)·(sinAcosB -cosAsinB) =(sinA^2 -sinB^2)·(sinAcosB +cosAsinB),
2sinAcosA = 2sinBcosB
sin2A =sin2B
A=B 或 2（A+B ）= π
已经知道 A≠B,所以 A+B = π/2,
△ABC是直角三角形