设a为实数,关于x的方程:ax^2-2x+1=0 若该方程有两实数根,一个根比1小,另一个根比1大,求a的取值范围

题目

设a为实数,关于x的方程:ax^2-2x+1=0 若该方程有两实数根,一个根比1小,另一个根比1大,求a的取值范围

答案

引理：
关于 x 的方程 ax^2 + bx + c = 0 有两实数根,一个根比 m 小,另一个根比 m 大的充分必要条件是：(x1 - m) * (x2 - m) < 0……(连判别式都不需要)
x1 + x2 = 2 / a
x1 * x2 = 1 / a
(x1 - 1) * (x2 - 1) = x1 * x2 - (x1 + x2) +1 = 1 / a - 2 / a + 1 = (a - 1) / a < 0
(a - 1) * a < 0
∴0 < a < 1