概率统计的问题,随机变量X的概率密度f(x)=1/[π(1+x^2)],求期望E(X)

题目

概率统计的问题,随机变量X的概率密度f(x)=1/[π(1+x^2)],求期望E(X)
随机变量X的概率密度f(x)=1/[π(1+x^2)],求期望E(X)
为什么说f(x)=∫(-∞,+∞)xf(x)dx不绝对收敛
xf(x)是奇函数,在R上积分不是0吗?

答案

由随机变量的概率密度可以看出,X服从柯西分布,而柯西分布的均值和方差都不存在.
至于为什么不存在,首先要计算
∫(-∞,+∞)|x|f(x)dx=∫(-∞,0)-xf(x)dx+)+∫(0,+∞)xf(x)dx=∞,
而均值存在的前提是刚才所求积分收敛,即∫(-∞,+∞)|x|f(x)dx