设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.

设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.

题目
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.
答案
依题意有f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(1)=3x2+2ax+b,
1+a+b+c=−2
3+2a+b=0
解得
a=c
b=−2c−3

从而f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1).
令f′(x)=0,得x=1或x=−
2c+3
3

由于f(x)在x=1处取得极值,故
2c+3
3
≠1
,即c≠-3.
2c+3
3
>1
,即c<-3,
则当x∈(−∞,−
2c+3
3
)
时,f′(x)>0;
x∈(−
2c+3
3
,1)
时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;
从而f(x)的单调增区间为(−∞,−
2c+3
3
],[1,+∞)
;单调减区间为[−
2c+3
3
,1]

2c+3
3
<1
,即c>-3,
同上可得,f(x)的单调增区间为(−∞,1],[−
2c+3
3
,+∞)
;单调减区间为[1,−
2c+3
3
]
根据题意,先求导,由函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,的f′(1)=0,f(1)=-2,可得用c表示a和b;令导数f′(x)=0,比较根的大小,确定函数f(x)的单调区间.

利用导数研究函数的极值.

考查利用导数研究函数的单调性和极值,即函数在某点取得极值的条件,体现方程的思想,特别讨论函数的单调性,比较两根的大小,体现了分类讨论的思想方法,属难题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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