设矩阵A=[a1.a2.a3.a4],其中a2.a3.a4线性无关,a1=2a3-3a4.向量b=a1+2a2+3a3+4a4,则方程Ax=b的通解为

题目

设矩阵A=[a1.a2.a3.a4],其中a2.a3.a4线性无关,a1=2a3-3a4.向量b=a1+2a2+3a3+4a4,则方程Ax=b的通解为

答案

设x=(x1,x2,x3,x4)',首先考虑对应的齐次方程Ax=0,显然r(A)=3,所以基础解系仅含一个解,
而方程Ax=0 即 x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0 显然有一个解是(1,0,-2,3)' （注：因为a1-2a2+3a4=0）故Ax=0通解为x=k(1,0,-2,3)'
而方程Ax=b 即 x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=a1+2a2+3a3+4a4显然有一特解是(1,2,3,4)'
故Ax=b通解为x=k(1,0,-2,3)' +(1,2,3,4)