如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．

题目

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．

答案

证明：作CF⊥BE，垂足为F，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，
∴四边形EFCD为矩形，
∴DE=CF，
∵∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵在△BAE和△CBF中，

∠BEA＝∠CFB ∠A＝∠CBF AB＝BC

，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴BE=CF=DE，
即BE=DE．

作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出△BAE≌△CBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力．