在△ABC中,若sinA=2sin Bcos C,cos平方C-cos平方A=sin平方B,试判断△ABC的形状

题目

在△ABC中,若sinA=2sin Bcos C,cos平方C-cos平方A=sin平方B,试判断△ABC的形状

答案

由和差化积公式：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以 cosBsinC-sinBcosC=0,即 sin(B-C)=0.从而B=C,因此三角形ABC是等腰三角形,且 AB=AC.
又因为 (cosC)^2-(cosA)^2=[1-(sinC)^2]-[1-(sinA)^2]=(sinA)^2-(sinC)^2=(sinB)^2.
而由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以上式又可以写成 a^2-c^2=b^2,因此三角形ABC是直角三角形,且角A是直角.
综合上面两条可知三角形ABC是等腰直角三角形,角A是直角,且AB=AC.