已知x+y+z=xyz，证明：x（1-y2）（1-z2）+y（1-x2）（1-z2）+z（1-x2）（1-y2）=4xyz．

题目

已知x+y+z=xyz，证明：x（1-y²）（1-z²）+y（1-x²）（1-z²）+z（1-x²）（1-y²）=4xyz．

答案

证明：∵x+y+z=xyz，
∴左边=x（1-z²-y²-y²z²）+y（1-z²-x²+x²z²）+（1-y²-x²+x²y²）
=（x+y+z）-xz²-xy²+xy²z²-yz²+yx²+yx²z²-zy²-zx²+zx²y²
=xyz-xy（y+x）-xz（x+z）-yz（y+z）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz-xy（xyz-z）-xz（xyz-y）-yz（xyz-x）+xyz（xy+yz+zx）
=xyz+xyz+xyz+xyz
=4xyz=右边．
∴x（1-y²）（1-z²）+y（1-x²）（1-z²）+z（1-x²）（1-y²）=4xyz．