已知数列1/1×2,1/2×3,1/3×4,…1/n(n+1),…,计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn的公式,并证明.
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已知数列1/1×2,1/2×3,1/3×4,…1/n(n+1),…,计算S1,S2,S3,由此推测计算Sn的公式,并证明.
题目
已知数列
1
1×2
答案
S
1
=1-
1
2
=
1
2
,S
2
=1-
1
2
+
1
2
−
1
3
=
2
3
,S
3
=1-
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
=
3
4
,猜测S
n
=
n
n+1
.
运用数学归纳法证明:当n=1时,S
1
=
1
2
,S
1
=
1
1×2
,等式成立,
假设当n=k时,S
k
=
k
k+1
成立,
则当n=k+1时,S
k+1
=S
k
+
1
(k+1)(k+2)
=
k
k+1
+
1
k+1
−
1
k+2
=1-
1
k+2
=
k+1
(k+1)+1
,
即当n=k+1时,等式也成立.
故对n∈N*,测S
n
=
n
n+1
都成立.
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