如图,PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD＝∠ADC=90º,AB=AD=½CD=a,PD=√2

题目

如图,PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD＝∠ADC=90º,AB=AD=½CD=a,PD=√2
(1)若M为PA中点,求证：AC∥平面MDE；
(2)求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小.

答案

连接PC,交DE于N,连接MN,
在△PAC中,M,N分别为两腰PA,PC的中点
MN∥AC
因MN⊂面MDE,
AC∥平面MDE
以D为空间坐标系的原点,分别以 DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则P（0,0,根号2a）,B（a,a,0）,C（0,2a,0）,
因相量打不出
PB向量=（a,a,根号2a）,BC向量=（-a,a,0）,



平面PAD的单位法向量为M=（0,1,0）,面PBC的法向量N=（x,y,1）
N向量*PB向量=ax+ay-根号2a=0
N向量*BC向量=-ax+ay=0
x=y=根号2/2
N向量=(根号2/2,根号2/2,1)
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ,
cosθ=(M向量*N向量)/IM向量I*IN向量I=1/2
平面PAD与PBC所成锐二面角cosθ=1/2