求中心在原点,一个焦点为F（0,2）,有被直线y=x+2截得的弦的中点的横坐标为1的双曲线方程

题目

求中心在原点,一个焦点为F（0,2）,有被直线y=x+2截得的弦的中点的横坐标为1的双曲线方程

答案

设双曲线方程为:
y^2/a^2-x^2/(4-a^2)=1
中点坐标为(1,3).直线斜率为1
故可以设两个交点为(1+t,3+t),(1-t,3-t)
代入双曲线方程:
(3+t)^2/a^2-(1+t)^2/(4-a^2)=1
(3-t)^2/a^2-(1-t)^2/(4-a^2)=1
两式相减得:
12t/a^2-4t/(4-a^2)=0
3/a^2-1/(4-a^2)=0
3(4-a^2)-a^2=0
a^2=3
y^/3-x^2=1