三角形ABC的BC边的中点为M,利用向量证明:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

题目

三角形ABC的BC边的中点为M,利用向量证明:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

答案

AB^2+AC^2=(AM+MB)^2+(AM+MC)^2
=AM^2+2AM·MB+MB^2+AM^2+MC^2+2AM·MC
=2(AM^2+BM^2)+2AM·MB+2AM·MC
=2(AM^2+BM^2)+2|AM||MB|cos∠AMC+2|AM||MC|cos∠AMB
由 |MB|=|MC| ∠AMC+∠AMB=180° cos∠AMC+cos∠AMB=0
所以AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) 题中除了| |模式的其他都是向量