如图,已知A、B两个村庄在河流CD的同侧,它们到河的距离分别为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂P,向A、B两村供水,已知铺设水管的费用为每千米2万元,请你
题目
如图,已知A、B两个村庄在河流CD的同侧,它们到河的距离分别为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂P,向A、B两村供水,已知铺设水管的费用为每千米2万元,请你在河流CD上选择水厂的位置P,使铺设水管的费用最节省(只需正确找出P点位置即可,不需证明),并求出此时的总费用.
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答案
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依题意,只要在直线l上找一点P,使点P到A、B两点的距离和最小.
作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B,
则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小,且PA+PB=PA′+PB=A′B.
过点A′向BD作垂线,交BD的延长线于点E,
在直角三角形A′BE 中,A′E=CD=30,BE=BD+DE=40,
根据勾股定理可得:A′B=50(千米)
即铺设水管长度的最小值为50千米.
所以铺设水管所需费用的最小值为:50×2=100(万元).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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