过椭圆2x^2+y^2=2的一个上焦点的直线交椭圆于A、B两点,设此直线斜率为k,求A0B的面积S与k的函数关系式

题目

过椭圆2x^2+y^2=2的一个上焦点的直线交椭圆于A、B两点,设此直线斜率为k,求A0B的面积S与k的函数关系式

答案

x^2+y^2/2=1,
c=1,上焦点坐标F2（0,1）,
AB方程：（y-1)/x=k,y=kx+1,
kx-y+1=0,
O至AB距离h=|0-0+1|/√（1+k^2)=1/√（1+k^2),
x^2+(kx+1)^2/2=1,
(2+k^2)x^2+2kx-1=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-2k/(2+k^2),
x1*x2=-1/(2+k^2),
|AB|=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√（1+k^2)[4k^2+8+4k^2)/(2+k^2)^2
=2√2(1+k^2)/（2+k^2),
∴S=|AB|*h/2=(1/2)[1/√（1+k^2)*]2√2(1+k^2)/（2+k^2)=√（2+2k^2)/(2+k^2).