复数运算 求证题

题目

复数运算 求证题
Z1,Z2∈复数且10Z1^2+5Z2^2=2*Z1*Z2且Z1+2Z2的值是纯虚数,求证3Z1+Z2的值属于实数

答案

死算不就完了,设z1=a+bi,z2=m+ni
则z1+2z2=a+2m+(b+2n)i为纯虚数,则a=-2m,b≠-2n
而10（a+bi）²+5（m+ni）²=2(a+bi)(m+ni)
10a²-10b²+20abi+5m²-5n²+10mni
=2am+2ani+2bmi-2bn
10a²-10b²+5m²-5n²+(20ab+10mn)i
=2am-2bn+（2an+2bm）i
49m²-10b²-5n²+2bn=(42bm-14mn)i
等式左边为实数,右边为虚数或零,则两边都为零,即42bm-14mn=0,则3b=n
而3z1+z2=3a+3bi+m+ni=-5m+(3b+n)i
我想应该是题目出错了,应是
3z1-z2=-7m+(3b-n)i=-7m为实数