函数f(x)=X—1/x对任意xE[1,+oo),f(mx)+mf(x)

题目

函数f(x)=X—1/x对任意xE[1,+oo),f(mx)+mf(x)

答案

f(x)=x-1/x,
对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)=mx-1/(mx)+m(x-1/x)=2mx-(m+1/m)/x<0恒成立,①
设g(x)=2mx-(m+1/m)/x,x>=1,则
由g(1)=m-1/m<0,得（m+1)(m-1)/m<0,
由序轴标根法得m<-1或0g'(x)=2m+(m+1/m)/x^2,
00,x→+∞时g(x)→+∞,①不成立；
m<-1时g'(x)<0,g(x)是减函数,①<==>g(1)<0.
综上,m的取值范围是(-∞,-1）.