已知直线l1：x＝my与抛物线C：y2＝4x交于O （坐标原点）,A两点,

题目

已知直线l1：x＝my与抛物线C：y2＝4x交于O （坐标原点）,A两点,
直线l2：x＝my＋m 与抛物线C交于B,D两点．
（1） 若 | BD | ＝ 2 | OA |,求实数m的值；
（2） 过A,B,D分别作y轴的垂线,垂足分别为A1,B1,D1．记S1,S2分别为三角形OAA1和四边形BB1D1D的面积,求S1:S2 ．

答案

(1),联立x＝my,y^2＝4x,得：O、A的坐标分别为（0,0）,（4m^2,4m)；
所以|OA|^2=16m^4+16m^2.
联立x＝my+m,y^2＝4x,得：B、D的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2)；
将x＝my+m,代入y^2＝4x,消去x,得：y^2-4my-4m=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4m,
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2+16m；
因为x1=my1+m,x2=my2+m,所以
x1+x2=m(y1+y2)+2m=4m^2+2m,x1-x2=m(y1-y2),
所以|BD|^2=(x1-X2)^2+(y1-y2)^2=(m^2+1)(x1-x2)^2
=16(m^2+m)(m^2+1).
又因为 | BD | ＝ 2 | OA |,所以
16(m^2+m)(m^2+1)=4（16m^4+16m^2）,
整理得：m(3m-1)(m^2+1)=0,
因为 m^2+1>0,
所以 m=0（舍去）,m=1/3.
故实数m的值为1/3.
(2),三角形OAA1的面积S1
=1/2*|AA1|*|yA|=1/2*|xA|*|yA|
=1/2*|4m^2|*|4m|=8m^2*|m|；
直线L2与y轴的交点C坐标为（0,-1）.
四边形BB1D1D的面积S2
=|三角形CBB1的面积-三角形CDD1的面积|
=|1/2*|BB1|*CB1-1/2*|DD1|*|CD1||
=|1/2*|x1|*|y1+1|-1/2*|x2|*|y2+1||
=|1/2*|x1|*|x1/m|-1/2*|x2|*|x2/m||
=|x1^2-x2^2|/2|m|
=|(x1+x2)(x1-x2)|/2|m|
=|2m(2m+1)*4m根号(m^2+m)|/2|m|
=4|2m^2+m|*根号(m^2+m).
所以S1：S2=8m^2*|m|：4|2m^2+m|*根号(m^2+m)
=2m^2：|2m+1|*根号(m^2+m).