在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,角ABC为60°,PA=AB=BC,E为PC中点,求证PD⊥平面ABE

题目

在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,角ABC为60°,PA=AB=BC,E为PC中点,求证PD⊥平面ABE
我图传不上去 各位受累自己画下 P是顶点谢谢 画错图了

答案

证明：
∵PA⊥平面ABCD,AB∈平面ABCD
∴PA⊥AB
∵PA⊥AB,AD⊥AB,PA、AD∈平面PAD且相交于点A
∴AB⊥平面PAD
又∵PD∈平面PAD
∴AB⊥PD ①
∵PA⊥平面ABCD,DC∈平面ABCD
∴DC⊥PA
∵DC⊥PA,DC⊥AC,PA、AC∈平面PAC且相交于点A
∴DC⊥平面PAC
又∵AE∈平面PAC
∴DC⊥AE ②
∵AB=BC,∠ABC=60°
∴△ABC为正三角形
∴AC=AB=BC=PA
∵PA⊥平面ABCD,直线AC∈平面ABCD
∴PA⊥AC
又∵AC=PA
所以△PAC为等腰直角三角形
又∵点E为PC中点
∴AE⊥PC
又∵AE⊥DC（②）,PC、DC∈平面PDC且交与点C
∴AE⊥平面PDC
又∵PD∈平面PDC
∴PD⊥AE
又∵PD⊥AB（①）,AE、AB∈平面ABE且相交于点A
∴PD⊥平面ABE
我已经尽量详细喽,你看明白了么?那个①和②只是方便你理解我才弄得啦,O(∩_∩)O~
如果还不明白可以再问我哦...
O(∩_∩)O~
祝你成绩进步!