已知集合A为方程x2-4mx+2m+6=0的解集,若方程至少有一个负根,求实数m的取值范围.

题目

已知集合A为方程x2-4mx+2m+6=0的解集,若方程至少有一个负根,求实数m的取值范围.
说明为什么

答案

方程有根则判别式为（4m）2-4*（2m+6）≥0 解得m≤-1或m≥3/2
方法一：分三种情况讨论.首先求出两根和为4m 两根之积为2m+6
1.若两个都是负根.
则4m < 0 且2m+6 > 0 解得 -3< m < 0
2.若两个根一正一负.
则2m+6 < 0 解得 m < -3
3.若两根一个是零,一个为负
则4m < 0 且2m+6=0 解得m = -3
综上所述,三种结果取交集 则当m≤-1时,方程至少有一个负根.
方法二：可以使用求反的方法
至少有一个负根,则只有当两个根均大于等于零的时候不符合条件
当两个根均大于等于零的时候,4m≥0 2m+6≥0 解得 m≥0
所以,除去m≥0这种情况,剩下m的取值的根的分布均满足条件
所以取反得到m