如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC

题目

如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC
明天就要用到了,

答案

本题可通过构建直角三角形求解,作BC边上的高AF；可在Rt△ABF和Rt△APF中,分别用勾股定理表示出AF的长,联立两式即可求得所证的结论．

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过A作AF⊥BC于F．

在Rt△ABF中,AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中,AF²=AP²-FP²；
则AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²-AP²=BF²-FP²=(BF+FP)(BF-FP)；
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=FC(三线合一)；
∴BF+FP=CF+FP=PC,BF-FP=BP；
∴AB²-AP²=BP•PC．

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