已知函数f（x）=lnx+1/x+ax在[2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是_．

题目

已知函数f（x）=lnx+

1

x

答案

f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a，∵f（x）在[2，+∞）上为减函数，
∴x∈[2，+∞）时，f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a≤0恒成立．
即a≤

1

x2

-

1

x

恒成立．
设y=

1

x2

-

1

x

，t＝

1

x

∈（0，

1

2

]
y=t²-t=(t−

1

2

)2−

1

4

≥−

1

4

∴y_min=−

1

4

则a≤y_min=−

1

4

故答案为：(−∞，−

1

4

]