已知a1=1/2，且Sn=n2an（n∈N*） （1）求a2，a3，a4； （2）猜测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明之．

题目

已知a₁=

1

2

答案

∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1＝

n

n+2

an
∴（1）a₂=

1

6

，a₃=

1

12

，a₄=

1

20

（2）猜测a_n=

1

n(n+1)

；下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即a_k=

1

k(k+1)

则当n=k+1时，ak+1＝

k

k+2

ak＝

k

k+2

×

1

k(k+1)

＝

1

(k+1)(k+2)

故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有a_n=

1

n(n+1)

．