如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，DB=22 （Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，DB=2

2

（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．

答案

（I）证明：设AC∩BD=H，连结EH．
在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，
故EH∥PA．又EH⊂平面BDE，PA不包含于平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
（II）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．
由（I）得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ） 由AC⊥平面PBD知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2

2

，
得DH=CH=

2

2

，BH=

3 2

2

，BC=

5

，
在Rt△BHC中，sin∠CBH=

CH

BC

=

3 2 2

5

=

3 10

10

，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为

3 10

10

．

（I）设AC∩BD=H，连结EH，由三角形中位线定理得EH∥PA．由此能证明PA∥平面BDE．
（II）由线面垂直得PD⊥AC，由（I）得，DB⊥AC，由此能证明AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）由AC⊥平面PBD知，∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由此能求出直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．

本题考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．